Question

如圖，在等腰直角△ABC中，點D是斜邊BC的中點，過點D的直線分別交AB，AC于點M，N，若

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，其中x＞0，y＞0，則2x+4y的最小值是

3+2

2

．

Answer 1

分析：利用三角形的直角建立坐標(biāo)系，求出各個點的坐標(biāo)，有條件求出M和N坐標(biāo)，則由截距式直線方程求出MN的直線方程，根據(jù)點D（1，1）在直線上，求出x，y的關(guān)系式，利用基本不等式求出2x+4y的最小值

解答：解：以AC、AB為a，b軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)等腰直角△ABC的腰長為2，
則D點坐標(biāo)為（1，1），B（0，2）、C（2，0），
∵

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，
∴點M坐標(biāo)為（0，2x），點N的坐標(biāo)為（2y，0）
∴直線MN的方程為

a

2x

+

b

2y

=1
∵直線MN過點D（1，1），
∴

1

2x

+

1

2y

=1
∴

1

x

+

1

y

=2
則2x+4y=(

1

x

+

1

y

)x+2•(

1

x

+

1

y

)y=3+（

x

y

+

2y

x

）≥3+2

2

故答案為：3+2

2

點評：本題的考查了利用向量的坐標(biāo)運算求最值問題，需要根據(jù)圖形的特征建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為幾何問題，根據(jù)條件求出兩數(shù)的和，再由基本不等式求出它們的積的最大值，注意驗證三個條件：一正二定三相等，考查了轉(zhuǎn)化思想．