Question

17．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點(diǎn)，A，B分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線C上的一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于M，與y軸交于點(diǎn)E，直線BM與y軸交于點(diǎn)N，若|OE|=3|ON|，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別求出直線AE和BN的方程，求出N，E的坐標(biāo)，利用|OE|=3|ON|的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：因?yàn)镻F⊥x軸，所以設(shè)M（-c，t），
則A（-a，0），B（a，0），AE的斜率$k=\frac{t}{a-c}$，
則AE的方程為$y=\frac{t}{a-c}（x+a）$，令x=0，則$y=\frac{ta}{a-c}$，
即$E（0，\frac{ta}{a-c}）$，
BN的斜率$k=-\frac{t}{a+c}$，則BN的方程為$y=-\frac{t}{a+c}（x-a）$，
令x=0，則$y=\frac{ta}{a+c}$，即$N（0，\frac{ta}{a+c}）$，
因?yàn)閨OE|=3|ON|，所以$3|{\frac{ta}{a+c}}|=|{\frac{ta}{a-c}}|$，即$\frac{3}{a+c}=\frac{1}{c-a}$，
則3（c-a）=a+c，即c=2a，則離心率$e=\frac{c}{a}=2$．
故選C．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出直線方程和點(diǎn)N，E的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．