Question

17．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	0	3	0	-3	0

（1）請(qǐng)將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，求當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，函數(shù)g（x）的值域；
（3）若將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平移θ（θ＞0）個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，若=h（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（$\frac{π}{12}，0$），求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)列關(guān)于ω、φ的二元一次方程組，求得A、ω、φ的值，得到函數(shù)解析式，進(jìn)一步完成數(shù)據(jù)補(bǔ)充．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求g（x），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其值域．
（3）由（1）及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得g（x），令2x+2θ+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ，k∈Z．令：$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ=$\frac{π}{12}$，結(jié)合θ＞0即可解得θ的最小值．

解答 解：（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=3，ω=2，φ=$\frac{π}{6}$，
數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	0	3	0	-3	0

函數(shù)表達(dá)式為f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，
得到圖象對(duì)于的函數(shù)解析式為：g（x）=3sin（x+$\frac{π}{6}$）．
由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可得：x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，可得：sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
可得：函數(shù)g（x）=3sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3}{2}$，3]．
（3）若將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平移θ（θ＞0）個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，若h（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（$\frac{π}{12}，0$），
由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$），得g（x）=3sin（2x+2θ+$\frac{π}{6}$）．
因?yàn)閥=sinx的對(duì)稱中心為（kπ，0），k∈Z．
令2x+2θ+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ，k∈Z．
由于函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，0）成中心對(duì)稱，令：$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ=$\frac{π}{12}$，
解得θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z．由θ＞0可知，當(dāng)k=1時(shí)，θ取得最小值$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數(shù)解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，其中關(guān)鍵是要根據(jù)圖象分析出函數(shù)的最值，周期等，進(jìn)而求出A，ω和φ值，屬于中檔題．