Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PDC；
（Ⅱ）線段AB上是否存在異于端點的點G，使二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$？若存在，求AG；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出CD⊥AD，CD⊥PA，從而PA⊥平面PCD，由此能證明平面PAB⊥平面PDC．
（Ⅱ）取AD 中點O，以O為原點，OA、OE（E為BC中點）、OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線段AB上是存在異于端點的點G，使二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$，并能求出AG的長．

解答 證明：（Ⅰ）∵底面ABCD是邊長為2的正方形，∴CD⊥AD，
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵PA=PD+$\sqrt{2}$，AD=2，∴PD⊥PA，
∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD，
又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PDC．
解：（Ⅱ）取AD 中點O，連結(jié)OP，OP=OA=1，
∵PA=PD，∴OP⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，∴OP⊥底面ABCD，
以O為原點，OA、OE（E為BC中點）、OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），
假設在線段AB上存在異于端點的點G釷面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$，設G（1，a，0），（0＜a＜2）
由（Ⅰ）知平面PDC的一個法向量為$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），
設平面PDC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{DP}$=（1，0，1），$\overrightarrow{GD}$=（-2，-a，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GD}=-2x-ay=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{2}{a}$，-1），
∵二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{2+\frac{3}{{a}^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴線段AB上是存在異于端點的點G，使二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$，且AG的長為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查使二面角的余弦值為定值的點是否存在的判斷及線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．