Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
∴f（2+x）=f（2-x），
∴f（4）=f（0）=1；
設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），則h′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又∵f′（x）-f（x）＜0，
∴h′（x）＜0；
∴y=h（x）單調(diào)遞減，
而當(dāng)x=0時，h（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1；
不等式 f（x）＜e^x，即h（x）＜h（0），
解得：x＞0，
故不等式的解集為（0，+∞），
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)h（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．