Question

14．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（π，2）和（4π，-2）．
（1）試求f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{4}$（縱坐標(biāo)不變），然后再將新的圖象向x軸正方向平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．寫出函數(shù)y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）依題意，可求得A，由T=6π可求ω，函數(shù)圖象過（π，2）可求φ；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的周期變換及平移變換法則，結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式，即可求出函數(shù)y=g（x）的解析式．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由題意知：A=2，…（1分）
∵T=6π，
∴$\frac{2π}{ω}$=6π得
ω=$\frac{1}{3}$，…（3分）
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+φ），
∵函數(shù)圖象過（π，2），
∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
∵-$\frac{π}{6}$＜φ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{6}$…（5分）
∴A=2，ω=$\frac{1}{3}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．…（6分）
（2）∵將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{4}$（縱坐標(biāo)不變），可得函數(shù)y=2sin（$\frac{4}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
然后再將新的圖象向x軸正方向平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=2sin[$\frac{4}{3}$（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{4x}{3}$-$\frac{5π}{18}$）的圖象．
故y=g（x）的解析式為：g（x）=2sin（$\frac{4x}{3}$-$\frac{5π}{18}$）．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的最值，周期，向左平移量，特殊點(diǎn)等，進(jìn)而求出A，ω，φ值，得到函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．