Question

9．已知函數(shù)y=sin2x+mcos2x的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{8}$對稱，求函數(shù)y=sinx+mcosx的周期和值域．

Answer 1

分析 先將函數(shù)y=sin2x+mcos2x利用輔角公式化簡，然后根據(jù)正弦函數(shù)在對稱軸上取最值可得m的值，再根據(jù)周期的定義和三角函數(shù)的性質(zhì)求出值域．

解答 解：由題意知y=sin2x+mcos2x=$\sqrt{{m}^{2}+1}$sin（2x+φ），
當(dāng)x=-$\frac{π}{8}$時函數(shù)y=sin2x+mcos2x取到最值±$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
將x=-$\frac{π}{8}$代入可得：sin（-$\frac{π}{4}$）+mcos（-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m-1）=±$\sqrt{{m}^{2}+1}$，解得m=-1．
故函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
值域為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的輔角公式和正弦函數(shù)的對稱性問題，屬于中檔題．