Question

各項均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前n項為S_n，已知S₆=60，且a₆為a₁和a₂₁的等比中項．
（1）求a_n及S_n．
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=S_n-2n（n∈N^*），求{

1

bn

}的前n項和Tn．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意建立方程組，求得d和a₁，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式，分別求得a_n及前n項和S_n；
（2）由（1）中的a_n和S_n，結合條件化簡后求得b_n，再利用裂項法求得

1

bn

，代入前n項和T_n再相消后化簡即可．

解答： 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得

6a1+15d=60 (a1+5d)2=a1(a1+20d)

，
解得a₁=5，d=2，故a_n=2n+3，S_n=n（n+4）；
（2）b_n=S_n-2n=n（n+4）-2n=n（n+2），
∴

1

bn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及裂項法求和，注意由數(shù)列的通項公式的特點來確定數(shù)列求和的方法．