Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側(cè)面PAB是正三角形，AB=2，BC=

2

，PC=

6

．
（I）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知棱PA上有一點(diǎn)E，若二面角E-BD-A的大小為45．，求AE：EP的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)勾股定理得BC⊥PB，由ABCD為矩形，得BC⊥AB，從而BC⊥面PAB，由此能證明面PAB⊥面ABCD．
（Ⅱ）以H為原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系H-xyz，設(shè)

AE

=λ

AP

，根據(jù)二面角E-BD-A的大小為45°，代入向量夾角公式，求出λ值，可得答案．

解答： （Ⅰ）證明：∵PAB為正三角形，AB=2，
∴PB=AB=2，
∵BC=

2

，PC=

6

，
∴PC²=BC²+PB²
∴根據(jù)勾股定理得BC⊥PB
∵ABCD為矩形
∴BC⊥AB
∵PB，AB∈面PAB且交于點(diǎn)B
∴BC⊥面PAB
∵BC∈面ABCD
∴面PAB⊥面ABCD．
（Ⅱ）解：取AB中點(diǎn)H，以H為原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系H-xyz，
設(shè)

AE

=λ

AP

，0＜λ＜1，
由題意知B（-1，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），
D（1，

2

，0），

BD

=(2，

2

，0)，

BA

=（2，0，0），

AE

=λ

AP

=λ(-1，0，

3

）=（-λ，0，

3

λ）
則

BE

=

BA

+

AE

=（2-λ，0，

3

λ）．…（5分）
設(shè)平面設(shè)平面EBD的法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • BD =0 n • BE =0

，解得

n

=(-

3

λ，

6

λ，2-λ)．…（7分）
又平面ABD的一個(gè)法向量為

m

=（0，0，

3

），
∵二面角E-BD-A的大小為45°，
∴cos45°=|cos＜

n

，

m

＞|

|2 3 - 3 λ|

3 × 10λ2-4λ+4

=

2

2

，
又∵0＜λ＜1，解得λ=

1

2

，
∴AE：EP=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的幾何特征，平面與平面垂直的判定，用空間求平面間的夾角，難度中檔．