在△ABC中，滿足
AB
與
AC
的夾角為60°，M是AB的中點(diǎn)．
（1）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
與
AB
的夾角的余弦值．
（2）若|AB|=2，|
BC
|=2
3
，在AC上確定一點(diǎn)D的位置，使得
DB
•
DM
達(dá)到最小，并求出最小值．
分析：（1）設(shè)|
AB
|=|
AC
|=a，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算求余弦值，
（2）根據(jù)余弦定理求出|AC|=4，則AM=1，設(shè)AD=x，則DC=4-x，用x表示出
DB
•
DM
，根據(jù)一元二次函數(shù)求最值的方法求出最值．
解答：解：（1）設(shè)|
AB
|=|
AC
|=a，cos＜
AB
+2
AC
，
AB
＞=
(
AB
+2
AC
)•
AB
  
|
AB
+2
AC
|  |
AC
|
=
a2+a2
7a2
a
= 
2
7
7

（2）因?yàn)?span id="jray9d5" class="MathJye">＜
AB
，
AC
＞  =60°，|AB|=2，|
BC
|=2
3
，由余弦定理知：|AC|=4
M是AB的中點(diǎn)，所以AM=1，因?yàn)镈是AC上一點(diǎn)，設(shè)AD=x，則DC=4-x，所以
DB
•
DM
=(
DA
+
AB
)  •(
DA
+
AM
)=
DA
2+ 
DA
•
DM
+
AB
•
DA
+
AB
•
AM

=x2-
1
2
x-
1
2
×2x+2=(x-
3
4
)2+
23
16

所以當(dāng)x=
3
4
∈(0，4)時(shí)，即D距A點(diǎn)
3
4
處，
DB
•
DM
取到最小，最小值為
23
16
．
點(diǎn)評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及一元二次函數(shù)求最值，是綜合題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC
（1）求角B的大小；
（2）若b=
7
，a+c=4，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，滿足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圓半徑為
2
．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面積S的最大值，并判斷此時(shí)的三角形形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）在△ABC中，設(shè)a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為△ABC的面積，且滿足條件4sinB•sin2（
π
4
+
B
2
）+cos2B=1+
3
．
（Ⅰ）求∠B的度數(shù)；
（Ⅱ）若a=4，S=5
3
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足
a
sinA
=
b
3
cosB
，則B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足csinA=
3
acosC．
（1）求角C的大��；
（2）當(dāng)
3
sinA-cosB取得最大值時(shí)，請判斷△ABC的形狀．

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