Question

15．已知如圖為f（x）=msin（ωx+φ）+n，m＞0，ω＞0的圖象．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足$a=\sqrt{3}，f（A）=1+\sqrt{3}$，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖象列出方程組求出m、n的值，由周期公式求出ω的值，把點(diǎn)$（\frac{π}{3}，3）$代入解析式求出φ的值，即可求出f（x）；
（2）由（1）化簡(jiǎn)$f（A）=1+\sqrt{3}$后，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由條件和正弦定理求出b、c，表示出△ABC的周長(zhǎng)，由整體思想和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：（1）由圖得，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{-m+n=-1}\end{array}\right.$，解得m=2、n=1，
且 $\frac{1}{2}T=\frac{7π}{3}-\frac{π}{3}$=2π，則T=4π，
由$\frac{2π}{ω}=4π$得$ω=\frac{1}{2}$，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)$（\frac{π}{3}，3）$，所以$2sin（\frac{1}{2}×\frac{π}{3}+φ）+1=3$，
即$sin（\frac{π}{6}+φ）=1$，所以φ=$\frac{π}{3}$，
則$f（x）=2sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}}）+1$；
（2）由（1）得，$f（A）=2sin（{\frac{1}{2}A+\frac{π}{3}}）+1=1+\sqrt{3}$，
化簡(jiǎn)得，$sin（{\frac{1}{2}A+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由0＜A＜π得，$\frac{1}{2}A+\frac{π}{3}∈（{\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}）$，
則$\frac{1}{2}A+\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}$，所以$A=\frac{2π}{3}$，
由正弦定理得，$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$，
則b=2sinB，c=2sinC，
所以周長(zhǎng)為$\sqrt{3}+2sinB+2sinC$=$\sqrt{3}+2sinB+2sin（\frac{π}{3}-B）$
=$\sqrt{3}+2（sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB-\frac{1}{2}sinB）$
=$\sqrt{3}+2sin（{B+\frac{π}{3}}）$，
又$A=\frac{2π}{3}$，則$0＜B＜\frac{π}{3}$，即$B+\frac{π}{3}∈（{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}）$，
所以$sin（{B+\frac{π}{3}}）∈（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$，
則周長(zhǎng)范圍是$（{2\sqrt{3}，2+\sqrt{3}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，由圖象求三角形的解析式，周期公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．