Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）． （Ⅰ）若a=1，求函數(shù)y=f（x）g（x）在區(qū)間[﹣2，0]上的最大值；
（Ⅱ）若a=﹣1，關(guān)于x的方程f（x）=kg（x）有且僅有一個根，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的x1 ， x2∈[0，2]，x1≠x2 ， 不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1時，y=（x2+x+1）ex ， y′=（x+1）（x+2）ex ， 令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，
∴函數(shù)y=f（x）g（x）在[﹣2，﹣1]遞減，在[﹣1，0]遞增，
而x=﹣2時，y= ，x=0時，y=1，
故函數(shù)在[﹣2，0]上的最大值是1；
（Ⅱ）由題意得：k= = 有且只有一個根，
令h（x）= ，則h′（x）= ，
故h（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，（1，2）上單調(diào)遞增，（2，+∞）上單調(diào)遞減，
所以h（x）極大=h（2）= ，h（x）極小=h（1）= ，
因為h（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減，且函數(shù)值恒為正，又當(dāng)x→﹣∞時，h（x）→+∞，
所以當(dāng)k＞ 或0＜k＜ 時，k=h（x）有且只有一個根．
（Ⅲ）設(shè)x1＜x2 ， 因為g（x）=ex在[0，2]單調(diào)遞增，
故原不等式等價于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
即 ，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
則函數(shù)F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]單調(diào)遞增，
則有 ，在[0，2]恒成立，
當(dāng)a≥﹣（ex+2x）恒成立時，因為﹣（ex+2x）在[0，2]單調(diào)遞減，
所以﹣（ex+2x）的最大值為﹣1，所以a≥﹣1；
當(dāng)a≤ex﹣2x恒成立時，因為ex﹣2x在[0，ln2]單調(diào)遞減，在[ln2，2]單調(diào)遞增，
所以ex﹣2x的最小值為2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，
綜上：﹣1≤a≤2﹣2ln2
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；（Ⅱ）若a=﹣1，關(guān)于x的方程f（x）=kg（x）有且僅有一個根，即k= = ，有且只有一個根，令h（x）= ，可得h（x）極大=h（2）= ，h（x）極小=h（1）= ，進(jìn)而可得當(dāng)k＞ 或0＜k＜ 時，k=h（x）有且只有一個根；（Ⅲ）設(shè)x1＜x2 ， 因為g（x）=ex在[0，2]單調(diào)遞增，故原不等式等價于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，當(dāng)a≥﹣（ex+2x）恒成立時，a≥﹣1；當(dāng)a≤ex﹣2x恒成立時，a≤2﹣2ln2，綜合討論結(jié)果，可得實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．