Question

15．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）證明；數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=log₂a_2n+1，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$與S_n-1=2a_n-1-$\frac{1}{2}$（n≥2）作差，進(jìn)而整理即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知a_n=2^n-2，進(jìn)而可知b_n=2n-1，裂項(xiàng)可知$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，
∴S_n-1=2a_n-1-$\frac{1}{2}$（n≥2），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2a₁-$\frac{1}{2}$，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$、公比為2的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2，
∵b_n=log₂a_2n+1=log₂2^2n-1=2n-1，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．