Question

已知點F為橢圓C：

x2

2

+y2=1的左焦點，點P為橢圓C上任意一點，點Q的坐標為（4，3），則|PQ|+|PF|取最大值時，點P的坐標為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設橢圓C的右焦點為F′（1，0），由已知條件推導出當PQ|+|PF|取最大值5

2

時Q，F(xiàn)′，P共線，此時直線PQ方程為y=x-1，由此能求出點P的坐標．

解答： 解：∵點F為橢圓C：

x2

2

+y2=1的左焦點，∴F（-1，0），
∵點P為橢圓C上任意一點，點Q的坐標為（4，3），
設橢圓C的右焦點為F′（1，0），
∴|PQ|+|PF|=|PQ|+2

2

-|PF′|
=2

2

+|PQ|-|PF′|，
∵|PQ|-|PF′|≤|QF′|=3

2

，
∴|PQ|+|PF|≤5

2

，即最大值為5

2

，
此時Q，F(xiàn)′，P共線
直線PQ方程為y=x-1，
解方程組

y=x-1 x2 2 +y2=1

解得x=0，y=-1，或x=

4

3

，y=

1

3

（舍），
∴點P坐標為（0，-1）．
故答案為：（0，-1）．

點評：本題考查點的坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．