Question

3．過平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{y+2≥0}\\{x+y+2≤0}\end{array}\right.$內(nèi)一點作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點分別為A、B，記∠APB=α，則當α最小時，cosα的值為（　　）

• A． $\frac{9}{10}$
• B． $\frac{7}{10}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{20}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到P，聯(lián)立方程組求得P的坐標，進一步求出sin$\frac{α}{2}$，代入二倍角余弦公式求得cosα的值．

解答 解：如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y+2=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得P（-4，-2），
|OP|=$\sqrt{（-4）^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$．
則cosα=$1-2si{n}^{2}\frac{α}{2}=1-2×\frac{1}{20}=\frac{9}{10}$．
故選：A．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．