已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F1與拋物線y2=4x的焦點重合，原點到過點A（a，0），B（0，-b）的直線的距離是
2
7
21
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點P，過F1作PF1的垂直于直線l交于點Q，求證：點Q在定直線上，并求出定直線的方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已恬條件得a2=b2+1，
ab
a2+b2
=
2
7
21
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由直線與橢圓相切，得4k2-m2+3=0，由此能證明點Q在定直線x=4上．
解答： （1）解：由于拋物線的y2=4x的焦點坐標(biāo)為（1，0），∴c=1，
∴a2=b2+1，
∵頂點到直線AB：
x
a
-
y
b
=1的距離d=
ab
a2+b2
=
2
7
21
，
∴a2=4，b2=3，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）證明：由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0（*）
由直線與橢圓相切得m≠0，且△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，
整理，得4k2-m2+3=0，
將4k2+3=m2，m2-3=4k2代入（*）式得
m2x2+8kmx+16k2=0，即（mx+4k）2=0，解得x=-
4k
m
，
∴P（-
4k
m
，
3
m
），又F1（1，0），∴kPF1=
3
m
-
4k
m
-1
=-
3
4k+m
，
∴kF1Q=
4k+m
3
，∴直線F1Q的方程為：y=
4k+m
3
(x-1)，
聯(lián)立
y=kx+m
y=
4k+m
3
(x-1)
，得x=4，
∴點Q在定直線x=4上．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點在定直線上的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），離心率e=
2
2
，A，B是橢圓上的動點．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線OA與OB的斜率乘積kOA•kOB=-
1
2
，動點P滿足
OP
=
OA
+
OB
（O為坐標(biāo)原點）．問是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，試求{an}的公比．

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已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=
an
1+2an
（n=1，2，3，…）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）歸納猜想通項公式an．

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已知四棱錐S-ABCD，底面為正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，
M，N分別為AB，AS中點．
（1）求證：BC⊥平面SAB；
（2）求證：MN∥平面SAD；
（3）求四棱錐S-ABCD的表面積．

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用放縮法證明不等式：2（
n+1
-1）＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
（n∈N*）

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如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為PA的中點．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求三棱錐C-PAD的體積VC-PAD．

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