Question

4．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，2017年中央電視臺著名主持人董卿主持了一檔節(jié)目《中國詩詞大會》參賽的100名選手年齡分布情況如下：

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均值$\overline{x}$（保留1位小數(shù)）
（Ⅱ）節(jié)目最后由高中生武亦姝和編輯彭敏爭奪冠軍，比賽規(guī)定：主持人每出一題，兩位選手必有一人得1分，另一人不得分，先得5分者將成為第二季的總冠軍，現(xiàn)比賽進(jìn)行到武亦姝和彭敏的得分比為3：2，接下來假設(shè)主持人每出一道題，彭敏得分的概率為$\frac{3}{5}$，武亦姝得分的概率為$\frac{2}{5}$，請問最終武亦姝獲得冠軍的概率是多少？
（Ⅲ）現(xiàn)從年齡在[10，20）、[50，60），[60，70]內(nèi)的三組選手中任意抽取2人，求抽出選手中年齡大于50歲的人數(shù)ξ的概率分布列和期望．

Answer 1

分析 （I）設(shè)x滿足：（0.002+0.03+x）×10=$\frac{1}{2}$，解得x=0.018．可得中位數(shù)=30+$\frac{0.018}{0.035}$×10．
其平均數(shù)$\overline{a}$=15×0.02+25×0.3+35×0.35+45×0.3+55×0.02+65×0.01．
（II）由于現(xiàn)比賽進(jìn)行到武亦姝和彭敏的得分比為3：2，可假設(shè)：武亦姝和彭敏的得分分別為3，2．則最終武亦姝獲得冠軍接下來有以下6種情況：

1	1
1	0	1
1	0	0	1
0	1	1
0	1	0	1
0	0	1	1

利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（III））由題意可得：年齡在[10，20）、[50，60），[60，70]內(nèi)的人數(shù)分別為：0.002×10×100=2，0.002×10×100=2，0.001×10×100=1．從上述三組選手5人中任意抽取2人，ξ的可能取值為0，1，2．利用超幾何分布列的計(jì)算公式與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)x滿足：（0.002+0.03+x）×10=$\frac{1}{2}$，解得x=0.018．
∴中位數(shù)=30+$\frac{0.018}{0.035}$×10≈35.14（歲）．
其平均數(shù)$\overline{a}$=15×0.02+25×0.3+35×0.35+45×0.3+55×0.02+65×0.01=35.3．
（II）由于現(xiàn)比賽進(jìn)行到武亦姝和彭敏的得分比為3：2，可假設(shè)：武亦姝和彭敏的得分分別為3，2．
則最終武亦姝獲得冠軍接下來有以下6種情況：

1	1
1	0	1
1	0	0	1
0	1	1
0	1	0	1
0	0	1	1

∴最終武亦姝獲得冠軍的概率P=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{349}{625}$．
（III）由題意可得：年齡在[10，20）、[50，60），[60，70]內(nèi)的人數(shù)分別為：0.002×10×100=2，0.002×10×100=2，0.001×10×100=1．從上述三組選手5人中任意抽取2人，ξ的可能取值為0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$．
可得ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

則Eξ=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{6}{10}$+2×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、中位數(shù)與平均數(shù)的計(jì)算公式、互斥事件與相互獨(dú)立事件、超幾何分布列的計(jì)算公式與數(shù)學(xué)期望、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．