Question

設M點是圓C：x²+（y-4）²=4上的動點，過點M作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點分別為A，B，切線MA，MB分別交x軸于D，E兩點．是否存在點M，使得線段DE被圓C在點M處的切線平分？若存在，求出點M的縱坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：設存在點M（x₀，y₀）滿足條件
設過點M且與圓O相切的直線方程為：y-y₀=k（x-x₀）
則由題意得，，化簡得：
設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，則
圓C在點M處的切線方程為
令y=0，得切線與x軸的交點坐標為
又得D，E的坐標分別為
由題意知，
用韋達定理代入可得，，與聯(lián)立，
得
分析：設存在點M（x₀，y₀）滿足條件，設過點M且與圓O相切的直線方程為：y-y₀=k（x-x₀）通過點到直線的距離公式，求出直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂的關系，通過圓C在點M處的切線方程，求出切線與x軸的交點坐標，D，E的坐標，然后利用斜率關系式求出點M的縱坐標．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，圓的切線方程的應用，考查分析問題解決問題的能力．