Question

設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是、，下頂點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖.若拋物線：與軸的交點(diǎn)為，且經(jīng)過、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，為拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）的面積的最大值為．

試題分析：（Ⅰ）求橢圓的方程，本題解題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程求出橢圓方程中參數(shù)的值，拋物線：與軸的交點(diǎn)為，且經(jīng)過、兩點(diǎn)，求出、、兩點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出橢圓的半長軸與半焦距，再求出，就能寫出橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)，為拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，利用拋物線線上的點(diǎn)的切線方程與圓聯(lián)立利用弦長公式與點(diǎn)到直線的距離公式分別求出三角形的底邊長度與高，表示出△MPQ的面積利用函數(shù)的知識求出最值，設(shè)（），表示出過點(diǎn)的拋物線的切線方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用弦長公式表示出線段的長度，再求出點(diǎn)到直線的距離為，表示出面積，由于其是參數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)的知識求出其最值即可得到，的面積的最大值．
試題解析：（Ⅰ）由題意可知B（0， 1），則A（0， 2），故b=2．    2分
令y=0得即，則F₁( 1，0)，F(xiàn)₂（1，0），故c =1．    4分

所以．于是橢圓C₁的方程為：．    6分
（Ⅱ）設(shè)N（），由于知直線PQ的方程為：
． 即．    7
代入橢圓方程整理得：,
=,
 , ,    9分
故
．    10分
設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則．
所以，的面積S
     12分
當(dāng)時取到“=”，經(jīng)檢驗(yàn)此時，滿足題意．
綜上可知，的面積的最大值為．    13分