Question

14．設(shè)n∈N^*，數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃=8，a_n+1=a_n+2．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）a_n+1-a_n=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}-{a}_{2}=2}\\{{a}_{3}+{a}_{2}=8}\end{array}\right.$，解得：a₃=5，a₂=3，a₁=1
數(shù)列{a_n}是1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
a_n=2n-1，
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
=$\frac{4{n}^{2}+5n}{3（2n+1）（2n+3）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．