Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過點F的直線與橢圓交于點A，B，若AB中點為（1，-$\frac{1}{2}$），且直線AB的傾斜角為45°，則橢圓方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{2{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 通過點斜式可知直線AB方程為x-y-$\frac{3}{2}$=0，從而令y=0可知a²-b²=$\frac{9}{4}$，另一方面，通過聯(lián)立橢圓與直線AB的方程，利用AB中點為（1，-$\frac{1}{2}$）、中點坐標公式及韋達定理可知a²=2b²，進而可得分別求出a²、b²，進而可得結(jié)論．

解答 解：∵AB中點為（1，-$\frac{1}{2}$），且直線AB的傾斜角為45°，
∴直線AB方程為：y-（-$\frac{1}{2}$）=x-1，即x-y-$\frac{3}{2}$=0，
又∵橢圓右焦點F在直線AB上，
∴F（$\frac{3}{2}$，0），即a²-b²=$\frac{9}{4}$，①
聯(lián)立橢圓與直線AB的方程，消去y整理得：
（a²+b²）x²-3a²x+a²（$\frac{9}{4}$-b²）=0，
∵AB中點為（1，-$\frac{1}{2}$），
∴2=$\frac{3{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，即a²=2b²，②
聯(lián)立①②可知：a²=$\frac{9}{2}$，b²=$\frac{9}{4}$，
∴橢圓方程為$\frac{2{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1，
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及直線的點斜式方程、韋達定理、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．