Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|2x+ |+a|x﹣ |．
（Ⅰ）當a=﹣1時，解不等式f（x）≤3x；
（Ⅱ）當a=2時，若關(guān)于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集為空集，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=﹣1時，不等式f（x）=|2x+ |﹣|x﹣ |≤3x，

等價于 ①；或 ②；或 ．

解①求得﹣ ≤x＜﹣ ，解②求得﹣ ≤x＜ ，解③求得x≥ ，

故原不等式的解集為{x|x≥﹣ }．

（Ⅱ）當a=2時，若關(guān)于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|，即 2（|2x+ |+2|x﹣ |）+1＜|1﹣b|，

即|4x+1|+|4x﹣6|+1＜|1﹣b|．

由于|4x+1|+|4x﹣6|≥|（4x+1）﹣（4x﹣6）|=7，∴|1﹣b|＞7+1的解集為，即|1﹣b|≤8恒成立，

∴﹣8≤b﹣1≤8，即﹣7≤b≤9，即要求的實數(shù)b的取值范圍為[﹣7，9]

【解析】（Ⅰ）當a=﹣1時，不等式f（x）=|2x+ |﹣|x﹣ |≤3x，再等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）當a=2時，由題意可得，|1﹣b|＞7+1的解集為，即|1﹣b|≤8恒成立，即﹣8≤b﹣1≤8，由此求得實數(shù)b的取值范圍．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號．