Question

已知三棱錐P-ABC，PA⊥底面ABC，PA=1，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D是PC的中點，PC與底面ABC所成角的大小為，求異面直線AD與PB所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

【答案】分析：取BC中點E，連AE，DE，由三角形中位線定理及異面直線夾角的定義可得，∠ADE（或其補(bǔ)角）的大小即為異面直線AD與PB所成的角的大�。�結(jié)合已知條件解△ADE求出∠ADE的余弦值，進(jìn)而可得異面直線AD與PB所成角的大小．
解答：解：取BC中點E，連AE，DE，
∵D為PC中點，∴DE∥PB，
∴∠ADE（或其補(bǔ)角）的大小即為異面直線AD與PB所成的角的大�。�（2分）
∵PA⊥底面ABC，
∴∠PCA就是PC與底面ABC所成角，即∠PCA=，
且PA⊥AB，PA⊥AC，
由已知條件及平面幾何知識，得：，PB=2，
于是，（8分）
在△ADE中，由余弦定理得（12分）
∴∠ADE=，
即異面直線AD與PB所成的角的大小為．（14分）
點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中構(gòu)造出∠ADE（或其補(bǔ)角）的大小即為異面直線AD與PB所成的角的大小，是解答本題的關(guān)鍵．