如圖，已知四棱錐S—ABCD中，△SAD是邊長為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD中點(diǎn)，Q為SB中點(diǎn)，（1）求證：PQ∥平面SCD；（2）求二面角B—PC—Q的正切值的大小。（13分）

 

【答案】

（1）作QE∥BC交SC于E，連DE得四邊形PQED，由QEBC ，PDBCPQED為平行四邊形PQ∥DEPQ∥平面SCD（2）

【解析】

試題分析：（1）證明：作QE∥BC交SC于E，連DE得四邊形PQED

由QEBC ，PDBCPQED為平行四邊形PQ∥DE，

DE平面SCDPQ∥平面SCD.

（2）作出PB中點(diǎn)F，連結(jié)QF， ∴QFSP

由于SP⊥AD，平面SAD⊥平面ABCDSP⊥平面ABCD，

QF∥SPQF⊥平面ABCD.

再作FG⊥PC，連QG，F(xiàn)C，則∠QGF為所求二面角的大小。

在Rt△GFQk ,QF=SP=

在△PFC中， 

PC2=PD2+CD2－2PD·CD·cos120°= ∴GF=   ∴tan∠QGF==

考點(diǎn)：空間線面平行的判定及二面角的求解

點(diǎn)評：第一問要證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行，第二問首先由三垂線定理作出二面角的平面角而后求解。此題還可以采用空間向量的方法證明計(jì)算，以P為原點(diǎn)PB,PD,PS為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA=2，E是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，SO的長為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱SA上的一點(diǎn)，若
AQ
=
3
4
AS
，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小為120°．
（Ⅰ）求證：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ，求θ的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•江西模擬）（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC長等于6，求異面直線AB與SC之間的距離．

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