Question

【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若存在閉區(qū)間[m,n] D，使得函數(shù)滿足：①在[m,n]上是單調(diào)函數(shù)；②在[m,n]上的值域?yàn)?/span>[2m,2n]，則稱區(qū)間[m,n]為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有 ．（填上所有正確的序號(hào)）

①；

②；

③；

④．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題分析：函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②,或, ，①若存在“倍值區(qū)間”，則，∴，若存在“倍值區(qū)間”；②若存在“倍值區(qū)間”，則,，構(gòu)建函數(shù)，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴函數(shù)在處取得極小值，且為最小值．∵，∴，∴無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；③若存在“倍值區(qū)間”，則, ，∴，，若存在“倍值區(qū)間”；④，， （，）．不妨設(shè)，則函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，若存在“倍值區(qū)間”，則，，∴是方程的兩個(gè)根，∴是方程的兩個(gè)根，由于該方程有兩個(gè)不等的正根，故存在“倍值區(qū)間”；綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④．