Question

【題目】已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,且.

（1）求的值;

（2）若在(其中上是單調(diào)函數(shù), 求的取值范圍;

（3）當(dāng)時(shí), 求證:.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）由極值定義得得兩根為，由韋達(dá)定理得，解得，再根據(jù)二次方程求根公式得（2）由（1）可得函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，由于，所以為單調(diào)區(qū)間的一個(gè)子集，即或，（3）利用不等式乘積性質(zhì)證明不等式：利用導(dǎo)數(shù)可得先將后增，有最小值所以；根據(jù)二次函數(shù)最值得，由于兩個(gè)不等式中等號(hào)取法不一致，所以乘積中等號(hào)取不到

試題解析：（1）由

得,

由得.

（2）由（1）知, 在上遞減, 在上遞增, 其中,

當(dāng) 在上遞減時(shí),, 又,當(dāng) 在上遞增時(shí),, 綜上, 的取值范圍為.

（3）證明: 設(shè),則,令,得;令,得.,(當(dāng)時(shí)取等號(hào)),

不等式成立(因?yàn)槿〉葪l件不相同, 所以等號(hào)取不到).