Question

正方形S₁和S₂內(nèi)接于同一個(gè)直角三角形ABC中，如圖所示，設(shè)∠A=α，若S₁=441，S₂=440，則sin2α=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)

專題：解三角形

分析：首先根據(jù)在正方形S₁和S₂內(nèi)，S₁=441，S₂=440，分別求出兩個(gè)正方形的邊長，然后分別表示出AF、FC、AM、MC的長度，最后根據(jù)AF+FC=AM+MC，列出關(guān)于α的三角函數(shù)等式，求出sin2α的值即可．

解答： 解：因?yàn)镾₁=441，S₂=440，
所以FD=

441

=21，MQ=MN=

440

，
因?yàn)锳C=AF+FC=

FD

tanα

+21=

21

tanα

+21，
AC=AM+MC=

MQ

sinα

+MNcosα=

440

sinα

+

440

cosα，
所以

21

tanα

+21=

440

sinα

+

440

cosα，
整理，可得

440

(sinαcosα+1)=21(sinα+cosα)，
兩邊平方，可得110sin²2α-sin2α-1=0，
解得sin2α=

1

10

或sin2α=-

1

11

（舍去），
故sin2α=

1

10

．
故答案為：

1

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的求值問題，考查了正方形、直角三角形的性質(zhì)，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是分別表示出AF、FC、AM、MC的長度，最后根據(jù)AF+FC=AM+MC，列出關(guān)于α的三角函數(shù)等式．