Question

將10個相同的球分到5個不同的盒子里面，有

 

種分配方法，將10個相同的球分到5個相同的盒子里面，有

 

種分配方法．

Answer 1

考點：計數(shù)原理的應用

專題：排列組合

分析：根據(jù)分類計數(shù)原理，將10個相同的球分到5個不同的盒子里面分四類：分組后再進行排列，將10個相同的球分到5個相同的盒子里面，只分組無需要排列．

解答： 解：①將10個相同的球分到5個不同的盒子里面分四類：
第一類10個球放入同一個盒子有5種方法，
第二類10個球放入兩個盒子，10個球可以分為（9，1），（8，2），（7，3），（6，4），（5，5）共5組，有

C

2 5

•

A

1 5

=50種方法，
第三類10個球放入三個盒子，10個球可以分為（8，1，1），（7，1，2）（6，3，1），（6，2，2），
（5，3，2），（5，4，1），（4，4，2），（4，3，3）共8組，有

C

3 5

•（

4A 3 3

A 2 2

+4

A

3 3

）=360種，
第四類10個球放入四個盒子，10個球可以分為（7，1，1，1），（6，2，1，1）（5，3，1，1），
（5，2，2，1），（4，3，2，1），（4，2，2，2），（3，3，3，1），（3，3，2，2）共8組，有

C

4 5

•

A

4 4

•(

3

A 3 3

+

3

A 2 2

+

1

A 2 2 • A 2 2

+1)=390種，
第五類10個球放入五個盒子，10個球可以分為（6，1，1，1，1），（5，2，1，1，1）（4，3，1，1，1），（4，2，2，1，1）共4組，有

A 5 5

A 4 4

+

2A 5 5

A 3 3

+

A 5 5

A 2 2 • A 2 2

=75種，
根據(jù)分類計數(shù)原理可得1+50+360+390+75=876種，
②將10個相同的球分到5個相同的盒子里面，
第二類10個球放入兩個盒子，10個球可以分為（9，1），（8，2），（7，3），（6，4），（5，5）共5組，有5種
第三類10個球放入三個盒子，10個球可以分為（8，1，1），（7，1，2）（6，3，1），（6，2，2），（5，3，2），（5，4，1），（4，4，2），（4，3，3）共8組，有8種，
第四類10個球放入四個盒子，10個球可以分為（7，1，1，1），（6，2，1，1）（5，3，1，1），（5，2，2，1），（4，3，2，1），（4，2，2，2），（3，3，3，1），（3，3，2，2）共8組，有8種，
第五類10個球放入五個盒子，10個球可以分為（6，1，1，1，1），（5，2，1，1，1）（4，3，1，1，1），（4，2，2，1，1）共4組，有4種，
根據(jù)分類計數(shù)原理可得5+8+8+4=25種，
故答案為：876，25

點評：本題考查了分類原理和分步計數(shù)原理，以及分組分配的問題，題目很復雜，需要仔細，屬于難題．