Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=4x³-2ax+a．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）+|2-a|＞0．

Answer 1

（1）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=12x²-2a
a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）
a＞0時(shí)，f′（x）=12x²-2a=12（x-）（x+）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-），（，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-，）；
（2）證明：由于0≤x≤1，故
當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）+|2-a|=4x³-2ax+2≥4x³-4x+2
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）+|2-a|=4x³+2a（1-x）-2≥4x³+4（1-x）-2=4x³-4x+2
設(shè)g（x）=2x³-2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x-）（x+）

x	0	（0，）		（，1）
g′（x）		-		+
g（x）			極小值

∴函數(shù)g（x）在（0，）上單調(diào)減，在（，1）上單調(diào)增
∴g（x）_min=g（）=1-＞0
∴當(dāng)0≤x≤1時(shí)，2x³-2x+1＞0
∴當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）+|2-a|＞0．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論：a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立；a＞0時(shí)，f′（x）=12x²-2a=12（x-）（x+），由此可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由于0≤x≤1，故當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）+|2-a|=4x³-2ax+2≥4x³-4x+2；當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）+|2-a|=4x³+2a（1-x）-2≥4x³+4（1-x）-2=4x³-4x+2，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2x³-2x+1，0≤x≤1，確定g（x）_min=g（）=1-＞0，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，屬于中檔題．