Question

已知函數(shù)f（x）＝（1＋x）²－4a lnx（a∈N﹡）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若關(guān)于x的方程f（x）＝x²－x＋b在區(qū)間[1，e]上恰有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

⑴；⑵或為所求．

試題分析：⑴由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010211646535.png" style="vertical-align:middle;" />
由 
知對(duì)恒成立，記
由于函數(shù)在上是增函數(shù)，故,所以
又，所以為所求．                         5分
⑵由題知，整理得
記，則
注意到，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
由知，
所以關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有一個(gè)實(shí)根 時(shí)
或為所求．
點(diǎn)評(píng)：近幾年新課標(biāo)高考對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對(duì)數(shù)）函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)式對(duì)函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運(yùn)用.把數(shù)學(xué)運(yùn)算的“力量”與數(shù)學(xué)思維的“技巧”完美結(jié)合