Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．
（I）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：法一：（I）先證明直線AB₁垂直平面A₁BD內(nèi)的兩條相交直線BD、A₁B，即可證明AB₁⊥平面A₁BD；
（II）設(shè)AB₁與A₁B交于點C，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，連接AF，
說明∠AFG為二面A-A₁B-B的平面角，然后求二面角A-A₁D-B的大�。�
法二：取BC中點O，連接AO，以0為原點，的方向為
x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，求出，
即可證明AB₁⊥平面A₁BD．
求出平面A₁AD的法向量為n=（x，y，z），為平面A₁BD的法向量，
然后求二者的數(shù)量積，求二面角A-A₁D-B的大�。�
解答：解：法一：（I）取BC中點O，連接AO、
∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，
連接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O、D分別為BC、CC₁的中點，
∴B₁O⊥BD，
∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（II）設(shè)AB₁與A₁B交于點G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，連接AF，由（I）得AB₁⊥平面A₁BD，
∴∠AFG為二面A-A₁D-B的平面角、
在△AA₁D中，由等面積法可求得AF=，又∵AG==，
∴sin∠AFG=，
所以二面角A-A₁D-B的大小為arcsin．

法二：（I）取BC中點O，連接AO．
∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁、
取B₁C₁中點O₁，以0為原點，的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（-1，1，0），A₁（0，2，），A（0，0，），B₁（1，2，0），
∴
∵，
∴⊥⊥，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（II）設(shè)平面A₁AD的法向量為=（x，y，z）、．
∵⊥⊥，
∴∵∴
令z=1得=（-，0，1）為平面A₁AD的一個法向量．
由（I）知AB₁⊥A₁BD．
∴為平面A₁BD的法向量．
cos＜，＞===-．
∴二面角A-A₁D-B的大小為arccos．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．