Question

【題目】已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2﹣x． 給出如下結(jié)論：
①對(duì)任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
正確的有（ ）
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①f（2m）=f（22m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，正確； ②取x∈（2m ， 2m+1），
則 ∈（1，2]；f（ ）=2﹣ ，
f（ ）=…=2mf（ ）=2m+1﹣x
從而f（x）∈[0，+∞），正確
③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假設(shè)存在n使f（2n+1）=9，
即存在x1 ， x2 ， 2x1﹣2x2=10，
又∵2x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在滿足條件的x1 ， x2 ， 所以該命題錯(cuò)誤；
綜合有正確的序號(hào)是①②．
故選：B．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．