Question

5．在△ABC中，CB=3，CA=4，$|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=|{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}}|$，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（含A，B兩個(gè)端點(diǎn)）．若$\overrightarrow{C{M}}=x\overrightarrow{C{A}}+y\overrightarrow{C{B}}$，（x，y∈R），則|x$\overrightarrow{CA}$-y$\overrightarrow{CB}$|的取值范圍是[$\frac{12}{5}$，4]．

Answer 1

分析 圖所示，由已知可得∠C=90°．斜邊AB上的高h(yuǎn)=$\frac{12}{5}$，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量和向量的模即可求范圍

解答 解：如圖所示，

∵BC=3，CA=4，AB=5，3²+4²=5²，
∴∠C=90°．
∴斜邊AB上的高h(yuǎn)=$\frac{12}{5}$．
∵$\overrightarrow{C{M}}=x\overrightarrow{C{A}}+y\overrightarrow{C{B}}$=x（0，4）+y（3，0）=（3y，4x），
∴|$\overrightarrow{CM}$|=$\sqrt{16{x}^{2}+9{y}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]．
∵x+y=x（0，4）+y（3，0）=（3y，4x），
則|x-y|=|x（0，4）-y（3，0）|=|（-3y，4x）|=$\sqrt{16{x}^{2}+9{y}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]．
故答案為：$[{\frac{12}{5}，4}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．