A. | g(a)<g(λ)<g(β)<g(μ) | B. | g(λ)<g(a)<g(β)<g(μ) | C. | g(λ)<g(a)<g(μ)<g(β) | D. | g(a)<g(λ)<g(μ)<g(β) |
分析 化簡f(x),求函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性,結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)判斷α<λ<μ<β,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
解答 解:由f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)可得f(x)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3,
∴f′(x)=3x2-2(x1+x2+x3)x+(x1x2+x1x3+x2x3)=0,
∵△=4(x1+x2+x3)2-12(x1x2+x1x3+x2x3)=2[(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2],
∵x1<x2<x3.∴△>0,∴方程f′(x)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
g′(x)=3+2cos(2x+1)>0,
則g(x)為增函數(shù),
下面證明α<$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$<β,
由f′(x)=3x2-2(x1+x2+x3)x+(x1x2+x1x3+x2x3)=0可得
f′($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)=$\frac{3({x}_{1}+{x}_{2})^{2}}{4}$-(x1+x2+x3)(x1+x2)+x1x2+x1x3+x2x3-x1x2=-$\frac{({x}_{1}-{x}_{2})^{2}}{4}$<0
即f′($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)=3($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-α)($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-β)<0,
由α<β可得α<$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$<β,
同理可知α<$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$<β,
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$<$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$,
∴α<$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$<$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$<β,
即α<λ<μ<β,
∵g(x)為增函數(shù),∴g(a)<g(λ)<g(μ)<g(β),
故選:D
點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性,以及α<λ<μ<β是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|2<x≤4} | B. | {x|2<x<4} | C. | {x|2≤x<4} | D. | {x|2≤x≤4} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{4}{7}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -2 | B. | 2 | C. | -3 | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $-\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | -1 |
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