Question

如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1），點(diǎn)P（x，y）為正方形（含邊界）內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若x，y∈R，求點(diǎn)P滿足x²+y²≤1的概率．
（2）若x，y∈Z，求點(diǎn)P滿足x²+y²≤1的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的集合是Ω={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1}，滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的集合是A={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1，x²+y²≤1}，做出兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)的圖形的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．
（2）先一一列舉出平面區(qū)域W中的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再看看在x²+y²≤1的有多少個(gè)點(diǎn)，最后利用概率公式計(jì)算即得．

解答：解：（1）點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)檎�方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），
滿足x²+y²≤1的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐裕?，0）為圓心，1為半徑的圓面（含邊界）．
∴所求的概率P1=

π×12

2×2

=

π

4

．
（2）滿足x，y∈Z，且在正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界）的點(diǎn)有9個(gè)，滿足x，y∈Z，且x²+y²≤1的點(diǎn)有5個(gè)，
∴所求的概率P2=

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了古典概型和幾何概型，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=mn．如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．