Question

過橢圓=1（0＜b＜a）中心的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F₂（c，0），則△ABF₂的最大面積是（ ）
A．a(chǎn)b
B．bc
C．a(chǎn)c
D．b²

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)，然后表示出△ABF₂的面積，根據(jù)|OF₂|為定值c將問題轉(zhuǎn)化為求y₁的最大值的問題，根據(jù)|y₁|的范圍可求得最后答案．
解答：解：設(shè)面積為S，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y₁，由于直線過橢圓中心，故B的縱坐標(biāo)為-y₁
三角形的面積S=|OF₂||y₁|+|OF₂||-y₁|=|OF₂||y₁|
由于|OF₂|為定值c，三角形的面積只與y₁有關(guān)，
又由于|y₁|≤b，
顯然，當(dāng)|y₁|=b時(shí)，三角形的面積取到最大值，為bc，
此時(shí)，直線為y軸
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用和三角形面積的最大值問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點(diǎn)也是熱點(diǎn)問題，每年必考，一定要好好準(zhǔn)備．