Question

16．已知PQ是半徑為1的圓A的直徑，B，C為不同于P，Q的兩點，如圖所示，記∠PAB=θ．
（1）若BC=$\sqrt{2}$，求四邊形PBCQ的面積的最大值；
（2）若BC=1，求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可得到$∠BAC=\frac{π}{2}$，進(jìn)而得出$∠CAQ=\frac{π}{2}-θ$，由三角形面積公式即可求出${S}_{四邊形PBCQ}=\frac{1}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ+\frac{1}{2}$，由兩角和的正弦公式即可得到${S}_{四邊形PBCQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，從而求出四邊形PBCQ的面積的最大值；
（2）由條件可得到$∠BAC=\frac{π}{3}，∠PAC=\frac{π}{3}+θ$，而$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$，代入$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$進(jìn)行數(shù)量積的運算，然后化簡即可得出$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=sin（θ+\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，從而得出該數(shù)量積的最大值．

解答 解：（1）∵$AB=AC=1，BC=\sqrt{2}$，∴∠BAC=$\frac{π}{2}$；
由∠PAB=θ得∠CAQ=$\frac{π}{2}-θ$；
∴S_{四邊形PBCQ}=S_△PAB+S_△ABC+S_△CAQ
=$\frac{1}{2}sinθ+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}-θ）$
=$\frac{1}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$；
∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，∴當(dāng)$θ=\frac{π}{4}$時，S_{四邊形PBCQ}取得最大值$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$；
（2）當(dāng)BC=1時，∠BAC=$\frac{π}{3}$，∠PAC=$\frac{π}{3}+θ$；
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}）$
=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=-1$-cos（\frac{π}{3}+θ）+cosθ+\frac{1}{2}$
=$-\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ+cosθ-\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ-\frac{1}{2}$
=$sin（{θ+\frac{π}{6}}）-\frac{1}{2}$；
∵$0＜θ＜\frac{2π}{3}$；
∴$θ=\frac{π}{3}$時，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$取得最大值$\frac{1}{2}$．

點評 考查三角形的面積公式，兩角和的正余弦公式，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及正弦函數(shù)的最值．