Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃（1-S_n）（n∈N^*），求適合方程$\frac{1}{_{2}_{3}}$+$\frac{1}{_{3}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{25}{51}$的n的值．．

Answer 1

分析 （1）由已知中數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．利用S_n法，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃（1-S_n）=n，結(jié)合裂項(xiàng)相消法，構(gòu)造關(guān)于n的方程，解得答案．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．
∴n=1時(shí)，S₁+$\frac{1}{2}$a₁=$\frac{3}{2}$a₁=1，
解得：a₁=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1，
兩式相減得：$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1=0，即a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
∴a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$=$1-（\frac{1}{3}）^{n}$，
b_n=log₃（1-S_n）=-n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{_{2}_{3}}$+$\frac{1}{_{3}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{25}{51}$，
解得：n=101

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，難度中檔．