Question

16．已知拋物線C：y²=8x的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，過點M的直線l′與拋物線C的交點為P，Q，延長PF交拋物線C于點A，延長QF交拋物線C于點B，若$\frac{|PF|}{|AF|}$+$\frac{|QF|}{|BF|}$=22，則直線l′的方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$（x+2）．

Answer 1

分析 設(shè)直線l′方程，代入拋物線方程，由韋達定理及拋物線的對稱性即可求得m的值，求得直線l′的方程．

解答 解：拋物線C：y²=8x的焦點為F（2，0），設(shè)直線l′的方程x=my-2，
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=my-2}\end{array}\right.$，整理得：y²-8my+16=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則△=64m²-64＞0，即m²＞1，
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=16，
由拋物線的對稱性可知：$\frac{|PF|}{|AF|}$+$\frac{|QF|}{|BF|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=4m²-2=22，解得：m²=6，
故m=±$\sqrt{6}$，
∴直線l′的方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$（x+2），
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$（x+2）．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的對稱性，考查計算能力，屬于中檔題．