【題目】已知函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù)
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)的單調性,并給予證明.

【答案】
(1)解:∵f(x)是奇函數(shù),

∴f(﹣x)=﹣f(x)

,

整理得:(2x﹣1)(a﹣2)=0對任意x∈R都成立,

∴a﹣2=0,

即a=2


(2)解:此時 ,

f(x)在x∈R是增函數(shù),理由如下:

證法一:任取x1,x2∈R,且x1<x2

∵x1<x2,且函數(shù)y=2x是增函數(shù),

<0, >0

∴f(x1)﹣f(x2)<0,

所以函數(shù)f(x)在R是增函數(shù).

證法二:∵ ,

,

∵f′(x)>0恒成立,

所以函數(shù)f(x)在R是增函數(shù)


【解析】(1)由函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,可得a的值;(2)f(x)在x∈R是增函數(shù),
證法一:任取x1 , x2∈R,且x1<x2 , 作差判斷出f(x1)﹣f(x2)<0,結合單調性的定義,可得:函數(shù)f(x)在R是增函數(shù);
證法二:求導,根據(jù)f′(x)>0恒成立,可得:函數(shù)f(x)在R是增函數(shù).
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)單調性的判斷方法(單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較),還要掌握函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱)的相關知識才是答題的關鍵.

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