Question

7．如圖，在半徑為$10\sqrt{3}（m）$的半圓形（其中O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點(diǎn)C、D在圓弧上，點(diǎn)A、B在半圓的直徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮ABCD卷成一個以BC為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（注：不計剪裁和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長BC=x（m），圓柱的側(cè)面積為S（m²）、體積為V（m³），
（1）分別寫出圓柱的側(cè)面積S和體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時，才能使得圓柱的側(cè)面積S最大？
（3）當(dāng)x為何值時，才能使圓柱的體積V最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，由BC，OC，可得OB，設(shè)圓柱底面半徑為r，由AB為底面圓的周長，可得半徑r，運(yùn)用圓柱的側(cè)面積公式和體積公式，即可得到所求解析式；
（2）運(yùn)用配方和二次函數(shù)的最值求法，可得側(cè)面積S的最大值及x的值；
（3）求出體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值，且為最值，及x的值．

解答 解：（1）連結(jié)OC，因?yàn)锽C=x，$OC=10\sqrt{3}$．
所以$OB=\sqrt{{{（10\sqrt{3}）}^2}-{x^2}}$，…（1分）
設(shè)圓柱底面半徑為r，則$AB=2\sqrt{300-{x^2}}=2πr$，
即$r=\frac{{\sqrt{300-{x^2}}}}{π}$，…（2分）
則$S=2x\sqrt{300-{x^2}}（0＜x＜10\sqrt{3}）$…（4分）
$V=π{r^2}x=\frac{{300x-{x^3}}}{π}（0＜x＜10\sqrt{3}）$…（6分）
（2）$S=2x\sqrt{300-{x^2}}=2\sqrt{300{x^2}-{x^4}}=2\sqrt{-{{（{x^2}-150）}^2}+22500}（0＜x＜10\sqrt{3}）$，
所以當(dāng)x²=150時，即$x=5\sqrt{6}（m）$時，圓柱的側(cè)面積為S為最大…（10分）
（3）∵$V=π{r^2}x=\frac{{300x-{x^3}}}{π}（0＜x＜10\sqrt{3}）$
∴$V'=\frac{{300-3{x^2}}}{π}$，由V'=0解得x=10，…（13分）
又在x∈（0，10）上V'＞0，在$x∈（10，10\sqrt{3}）$上V'＜0，
所以$V=\frac{{300x-{x^3}}}{π}$在（0，10）上是增函數(shù)，在$（10，10\sqrt{3}）$上是減函數(shù)，
所以當(dāng)x=10（m）時，圓柱的體積V的最大值為$\frac{2000}{π}（{m^3}）$…（16分）．

點(diǎn)評 本題考查圓柱的側(cè)面積和體積的最值的求法，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法和由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．