Question

11．已知P（x，y）是函數(shù)y=1+lnx圖象上一點，O是坐標原點，直線OP的斜率為f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）設g（x）=$\frac{x}{a（1-x）}$[xf（x）-1]，若對任意的x∈（0，1）恒有g（x）＞-1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用斜率公式可得函數(shù)f（x）的解析式，求出導函數(shù)分別由導函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調區(qū)間，進一步求得極值；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入g（x）=$\frac{x}{a（1-x）}$[xf（x）-1]，分析可知，若a＜0，當x∈（0，1）時，f（x）＞0與題意不符．可得a＞0．由g（x）＞-1，得$\frac{xlnx}{a（1-x）}＞-1⇒lnx+\frac{a（1-x）}{x}＞0$，構造函數(shù)$h（x）=lnx+\frac{a（1-x）}{x}=lnx+\frac{a}{x}-a，x∈（0，1）$，求其導函數(shù)，然后對a分類分析得答案．

解答 解：（Ⅰ）依題意，P（x，1+lnx），則$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，
于是，$f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
故f（x）在x=1處取得極大值，且極大值為f（1）=1；無極小值．
（Ⅱ）$g（x）=\frac{x}{a（1-x）}[{xf（x）-1}]=\frac{xlnx}{a（1-x）}$，
可知，若a＜0，∵x∈（0，1），∴f（x）＞0與題意不符．則a＞0．
由g（x）＞-1，得$\frac{xlnx}{a（1-x）}＞-1⇒lnx+\frac{a（1-x）}{x}＞0$，
記$h（x）=lnx+\frac{a（1-x）}{x}=lnx+\frac{a}{x}-a，x∈（0，1）$，$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$．
①若a≥1，則h'（x）＜0恒成立，從而h（x）在（0，1）上遞減，h（x）＞h（1）=0，滿足題意；
②若0＜a＜1，則當x∈（0，a）時，h'（x）＜0；x∈（a，1）時，h'（x）＞0，
∴h（x）在（0，a）上遞減，在（a，1）上遞增．
∴x∈（a，1）時，h（x）＜h（1）=0，不滿足題意．
綜上，a的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，訓練了恒成立問題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，屬難題．