Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin$\frac{ωx}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{ωx}{2}$-sin$\frac{ωx}{2}$）（ω＞0）的最小正周期為3π．
（Ⅰ）求ω的值和函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-π，\frac{3π}{4}}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2$\sqrt{3}$，c=4，且f（$\frac{3}{2}$A）=1，求b和△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的周期，求出ω，寫出函數(shù)解析式，x∈$[{-π，\frac{3π}{4}}]$，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得函數(shù)的最大值和最小值；
（Ⅱ）f（$\frac{3}{2}$A）=1，化簡(jiǎn)整理得：sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，求出角A，根據(jù)余弦定理求出b的值，三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$bcsinA，求得S．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-2sin²$\frac{ωx}{2}$
=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx-1
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1，…（3分）
∴$\frac{2π}{ω}$=3π，∴ω=$\frac{2}{3}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1，…（5分）
∵x∈$[{-π，\frac{3π}{4}}]$，
∴f（x）在區(qū)間[-π，$\frac{π}{2}$]單調(diào)遞增，在區(qū)間[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]單調(diào)遞減，
f（-π）=2sin（-$\frac{π}{2}$）-1=-3，f（$\frac{π}{2}$）=2sin$\frac{π}{2}$-1=1，f（$\frac{3π}{4}$）=2sin$\frac{2π}{3}$-1=$\sqrt{3}$-1，
因此f（x）在區(qū)間$[{-π，\frac{3π}{4}}]$上的最大值為1，最小值為-3．     …（8分）
（Ⅱ）∵f（$\frac{3}{2}$A）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）-1=1，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
又∵0≤A≤π，
∴A=$\frac{π}{3}$，…（10分）
∵a=2$\sqrt{3}$，c=4，
∴由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA得12=b²+16-4b，
即b²-4b+4=0，∴b=2，…（12分）
從而△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$．                   …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用與余弦定理相結(jié)合，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性及最值的應(yīng)用，求出f（x）的解析式是解決這類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．