Question

在R上定義運(yùn)算?：p?q=-

1

3

（p-c）（q-b）+4bc，記f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R．令f（x）=f₁（x）?f₂（x）．
（1）若f（x）在x=1處取得極值-

4

3

，求實數(shù)b，c的值；
（2）已知f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若存在實數(shù)x，使得f′（x）≥c-lnx，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由定義求出f（x）和導(dǎo)數(shù)．（1）由題意得，f（1）=-

4

3

且f′（1）=0，解出b，c 并檢驗即可；
（2）存在x＞0，使得f′（x）≥c-lnx，即2b≥x-

lnx

x

，在（0，+∞）有解，令g（x）=x-

lnx

x

，求出導(dǎo)數(shù)，再令h（x）=x²+lnx-1，求出導(dǎo)數(shù)，判斷h（x）的單調(diào)性，求得x=1為g（x）的極小值，也為最小值且為1．只要2b不小于最小值即可．

解答： 解：由定義可知，由于f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R．
令f（x）=f₁（x）?f₂（x），則f（x）=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
f′（x）=-x²+2bx+c，
（1）由題意得，f（1）=-

1

3

+b+c+bc=-

4

3

且f′（1）=-1+2b+c=0，
解得，b=1，c=-1或b=-1，c=3．
當(dāng)b=1，c=-1時，f′（x）=-x²+2x-1≤0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，無極值，不合題意．
故b=-1，c=3．
（2）若存在x＞0，使得f′（x）≥c-lnx，即2b≥x-

lnx

x

，在（0，+∞）有解，
令g（x）=x-

lnx

x

，g′（x）=1-

1-lnx

x2

=

x2+lnx-1

x2

，
令h（x）=x²+lnx-1，h′（x）=2x+

1

x

＞0，則h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又h（1）=0，g′（1）=0，
g′（x）＜0有0＜x＜1；g′（x）＞0有x＞1．
故x=1為g（x）的極小值，也為最小值且為1．
∴2b≥1，即b≥

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查不等式有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值及參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)求最值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．