Question

2．設(shè)F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩個焦點，P在雙曲線上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2ac（c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$），則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2ac，結(jié)合雙曲線的定義，確定a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=n，則mn=2ac①，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴m²+n²=4c²②，
∵|m-n|=2a③，
∴由①②③可得c²-ac=a²，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選：D．

點評 本題重點考查雙曲線的性質(zhì)與定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．