Question

7．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M是AB的中點，求DB₁與CM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出DB₁與CN所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則M（2，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），B₁（2，2，2），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），$\overrightarrow{CM}$=（2，-1，0），
設(shè)DB₁與CM所成角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{D{B}_{1}}|•|\overrightarrow{CM}|}$|=|$\frac{4-2+0}{\sqrt{12}•\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴DB₁與CM所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．