Question

若f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題

分析：利用作差法．我們可以任取區(qū)間上滿足-∞＜x₁＜x₂＜0的兩個實數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，易判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

解答： 解：任取x₁，x₂∈（-∞，0），且-∞＜x₁＜x₂＜0
則0≤-x₂＜-x₁≤+∞
又∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x₂）=f（x₂），f（-x₁）=f（x₁）
∴f（x₂）＞f（x₁）
即f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，利用做差法證明函數(shù)的單調(diào)性是最基本最常用的方法，但對于抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明則要多利用函數(shù)奇偶性圖象對稱的性質(zhì)進行處理，屬于中檔題．