Question

【題目】已知數(shù)列滿足，且，點在二次函數(shù)的圖象上.

（1）試判斷數(shù)列是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列？若是，請說明你的理由；

（2）記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項公式；

（3）在數(shù)列中依據(jù)某種順序從左至右取出其中的項，…，把這些項重新組成一個新數(shù)列，….若數(shù)列是首項為、公比為的無窮等比數(shù)列，且數(shù)列各項的和為，求正整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）證明見解析，；（3），.

【解析】

（1）數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列，根據(jù)題意，利用點在二次函數(shù)的圖象上，可得，即可證明，從而數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列；

（2）由，，可得，即可證明：數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而求出通項公式；

（3）由題意可得數(shù)列的首項為，公比為，可得，再分類討論，可得正整數(shù)的值.

（1）數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列.理由如下：

∵點在函數(shù)的圖象上，則.

即，而，

∴.

所以數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列

（2）由（1）可知，，

∴，

又，

∴數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，

故數(shù)列通項公式.

（3）由題意，無窮等比數(shù)列的首項，公比（且為常數(shù)），

則無窮等比數(shù)列的各項和為，化簡得.

因為且為常數(shù)，

若，則，與矛盾，

所以，

若或1時，，與矛盾，

所以，即，此時，解得，

故正整數(shù).