Question

1．已知偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（π-x），當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，f（x）=2^x-cosx，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]內(nèi)的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 8
• B． 7
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由數(shù)形結(jié)合法分析可得函數(shù)y=2^x與y=cosx有2個不同的交點，即函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有2個零點，由函數(shù)的奇偶性分析可得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有2個零點，再結(jié)合f（x）滿足f（x）=f（π-x）分析可得f（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上有2個零點，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]內(nèi)的有4個零點，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，0]內(nèi)的有4個零點，

解答 解：根據(jù)題意，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，
f（x）=2^x-cosx，
若f（x）=2^x-cosx=0，即2^x=cosx，
分析可得：函數(shù)y=2^x與y=cosx有2個不同的交點，則函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有2個零點，
又由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有2個零點，
f（x）滿足f（x）=f（π-x），
即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{π}{2}$對稱，則函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上有2個零點，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]內(nèi)的有4個零點，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，0]內(nèi)的有4個零點，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]內(nèi)的零點個數(shù)為：7
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)零點的判定，涉及函數(shù)奇偶性周期性的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的周期性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．