Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足關(guān)系式S_n+a_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$（n∈N*），設(shè)b_n=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求a_n及S_n；
（3）設(shè)c_n=S_n+na_n，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足關(guān)系式S_n+a_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$（n∈N*），n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=$\frac{n-2}{（n-1）n}$，可得：2a_n-a_n-1=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{n（n-1）}$，代入可得b_n=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{n（n-1）}$）+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}_{n-1}$．n=1時(shí)，2a₁=0，解得a₁=0．b₁=$\frac{1}{2}$，即可證明．
（2）由（1）可得：b_n=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．可得a_n．即可得出S_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-a_n．
（3）c_n=S_n+na_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n-1}{{2}^{n}}$．利用錯(cuò)位相減法即可得出．

解答 （1）證明：數(shù)列{a_n}滿足關(guān)系式S_n+a_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$（n∈N*），
n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=$\frac{n-2}{（n-1）n}$，可得：2a_n-a_n-1=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{n（n-1）}$，
∴b_n=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{n（n-1）}$）+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}[{a}_{n-1}+\frac{1}{n（n-1）}]$=$\frac{1}{2}_{n-1}$．
n=1時(shí)，2a₁=0，解得a₁=0．
又b₁=a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：b_n=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{n（n+1）}$．
∴S_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-a_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（3）證明：c_n=S_n+na_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n-1}{{2}^{n}}$．
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=0+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}[1-\frac{1}{{2}^{n-1}}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$＜1．
∴T_n＜1．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．